La formulation de base de Westergaard pour une paroi verticale présume que l'accélération est dirigée de façon normale à la paroi. Cependant plusieurs barrages en béton ont été construits tout en variant la normale de la paroi amont (ou aval). Des exemples sont les barrage-poids avec parois amont inclinées, ou les barrages voûtes avec une face amont à double courbure, ou encore les nez de piliers d'évacuateurs de crues. La méthode des masses ajoutées de Westergaard a été étendue au calcul des forces hydrodynamiques pour les barrages en béton pour lesquels l'orientation de la face amont par rapport à l'orientation des secousses sismiques varie de point en point (Clough 1985, FERC 1999). La pression Pni agissant à n'importe quel point "i" sur la face amont est donnée par 



Hi =        Profondeur de l'eau à la section verticale contenant le point “i”;

H =        Profondeur totale de la retenue;

yi =        Hauteur du point “i” à cette section;

rni =        Accélération normale au point “i”.


Formulation généralisée 2D de Westergaard


Formulation généralisée 3D de Westergaard


En notation compacte représente la pression par unité d'accélération normale. En 3D l'accélération normale à la face amont est dérivée à partir des cosinus directeurs entre les coordonnées cartésiennes et la normale (Figure B11a, B11b)


       

où

       


La fonction de pression normale, Pni ,est convertie en une fonction normale de force correspondante, Fni, par multiplication avec la surface, Ai tributaire au point "i" .


       


Finalement, la force normale Fni est résolue en coordonnées cartésiennes pour calculer les forces horizontales rive gauche - rive droite et verticales qui agissent sur la face amont. Dans CADAM 3D on ne considère que la stabilité amont-aval, alors on ne considère pas l'action des forces rive-gauche, rive-droite :


       

où


On constate que ces forces ponctuelles sont équivalentes à des forces d'inertie, agissant en opposition aux accélérations au point "i". On peut donc définir la masse ajoutée comme suit:



On exprime alors les effets hydrodynamiques de la retenue par des masses agissant au point "i". 



La matrice [Mai] est une matrice pleine 3 x 3 pour chaque point "i".  Il n'y a pas un fondement rationnel pour présumer que la distribution parabolique de la pression de Westergaard pour un barrage rigide avec une face verticale s'applique pour une paroi de géométrie arbitraire. Cependant la formulation ci-dessus a été démontrée comme étant assez précise lorsqu'il n'y a pas de grandes variations latérales des pressions hydrodynamiques le long de la paroi.